Developing Population Pharmacokinetic Parameters for High-Dose Methotrexate Therapy --- Implication of Correlations among Developed Parameters for Individual Parameter Estimation Using the Bayesian Least-Squares Method

Bayesian estimation enables the individual pharmacokinetic parameters of the medication administrated to be estimated using only a few blood concentrations. Due to wide inter-individual variability in the pharmacokinetics of methotrexate (MTX), the concentration of MTX needs to be frequently determined during high-dose MTX therapy in order to prevent toxic adverse events. To apply the benefits of Bayesian estimation to cases treated with this therapy, we attempted to develop an estimation method using the Bayesian least-squares method, which is commonly used for therapeutic monitoring in a clinical setting. Because this method hypothesizes independency among population pharmacokinetic parameters, we focused on correlations among population pharmacokinetic parameters used to estimate individual parameters. A two-compartment model adequately described the observed concentration of MTX. The individual pharmacokinetic parameters of MTX were estimated in 57 cases using the maximum likelihood method. Among the available parameters accounting for a 2-compartment model, V1, k10, k12, and k21 were found to be the combination showing the weakest correlations, which indicated that this combination was best suited to the Bayesian least-squares method. Using this combination of population pharmacokinetic parameters, Bayesian estimation provided an accurate estimation of individual parameters. In addition, we demonstrated that the degree of correlation among population pharmacokinetic parameters used in the estimation affected the precision of the estimates. This result highlights the necessity of assessing correlations among the population pharmacokinetic parameters used in the Bayesian least-squares method.


Numerical Computation of Continuation Problems in the Annular Domain


PARALLEL COMPUTING OF INTERVAL ARITHMETIC IN MULTIPLE PRECISION FOR SIMULTANEOUS LINEAR EQUATIONS

本論文は，離散化手法であるスペクトル選点法の先端的な応用例をいくつか紹介した． その中でも，特に， 直接的な数値計算ができない例として辞典などでとりあげられているFredholm型の積分方程式に対して， スペクトル選点法用いた直接的数値計算法を提案した． 実際の数値計算では，多倍長演算を併用して， 直接的な数値計算が確かにできていることを示した． スペクトル選点法は任意次数の離散化手法であり，これと多倍長演算を併用する手法は， 我々が番号42の論文で名付けた「無限精度数値シミュレーション」そのものである． すなわち，無限精度数値シミュレーションによって， いままで不可能と思われてきたFredholm型の積分方程式の直接数値計算を可能にした．

GAKUTO International Series, Mathematical Sciences and Applications


Numerical treatment of analytic continuation with multiple-precision arithmetic


有界化による熱伝導逆問題の大域的数値計算

有界化による熱伝導逆問題の大域的数値計算

In the paper an inverse problem for the heat equation is simulated directly and globaly. The bounding transform is used for avoiding unboundedness of the domain and the solution. A parameter is introduced for avoiding the difficulty in numerical computation which arise from the discontinuity. Moreover, it is useful for investigation of the growth rate. Numerical results are satisfactory.


Some Numerical Experiments on Global Simulation of the Backward Heat Conduction Problem


第一種積分方程式の高精度数値計算について

第一種積分方程式の高精度数値計算について

A new method for the direct numerical computation of integral equations of the first kind, of which the integral kernels are analytic, is proposed. The basic idea of the method is based on combination of the spectral collocation method and the multiple precision computation. It gives good numerical results for the equations as far as we don't admit observation errors in the given inhomogeneous terms, and the results implies possibility of numerical analytic continuation on the multiple precision arithmetic. A new accurate rule for numerical integration is also introduced.


Existence and Uniqueness of Solution of Nonlinear Systems


Global Simulation of a Backward Heat Conduction Problem with a Variable Transform on Time


DIRECT NUMERICAL SIMULATIONS OF CAUCHY PROBLEMS FOR THE LAPLACE OPERATOR

本論文は，無限精度数値計算手法を典型的な逆問題である楕円型作用素のコーシー問題に適用したものである．楕円型作用素のコーシー問題では，初期条件のわずかな違いによって解析解の存在，非存在が変わってくるが，無限精度数値計算手法を用いて様々な精度での数値計算を行い，数値解の収束を見ることで解析解が存在しているかどうかの判断ができることを示した．なお，同じ問題に対して差分法を用いて数値計算を行ったところ，数値解がほとんど収束せず，数値計算を満足に実行できないことも示した．

Advances in Mathematical Sciences and Applications


Numerical Computation of Lyapunov Exponents Related to Attractors in a Free Boundary Problem

本論文は，理論解析に直接結びつく，自由境界問題のカオス現象の数値解析手法を開発した． 自由境界問題でなければ，空間微分を差分法などで離散化し， 得られた常微分方程式系のアトラクターを解析すれば， もとの偏微分方程式の解の振舞いが近似的にわかる． ところが自由境界問題では，未知の定義域がじゃまをして， このような解析ができなかった． そこで，本論文では， 自由境界問題の数値シミュレーション手法の一つである固定領域法を用いてこの困難を克服した． 固定領域法によって， まず，自由境界問題を記述する偏微分方程式系を固定領域上での等価な偏微分方程式系に変換する． その後，空間に関して離散化することで近似系である常微分方程式系を導出する． この離散化法としてスペクトル選点法を用いると偏微分方程式系の任意次数近似が実現する． 本論文の手法を空間1次元の2相Stefan問題に適用して， アトラクターのリャプノフ指数が計算できることを実証した．

Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications


NUMERICAL COMPUTATION OF ATTRACTORS IN FREE BOUNDARY PROBLEMS


SOME ADVANCED APPLICATIONS OF THE SPECTRAL COLLOCATION METHOD


自由境界問題の数値解法 --- ―数理ファイナンスへの応用―

自由境界問題の数値解法 --- ―数理ファイナンスへの応用―

本論文は，無限精度数値計算手法を実際問題である数理ファイナンスに現れるアメリカン·プット·オプションの価格が従う偏微分方程式に適用したものである．なお，この偏微分方程式は自由境界問となる．本論文では，Black-Scholes偏微分方程式の自由境界問題の枠組みに，無限精度数値計算手法を適用した結果，定式化において現れる満期状態での適合条件の不連続生を連続になるように補正すれば，うまく数値計算を実行することができることがわかった．


On numerical methods for solving linear systems appearing in infinite precision numerical simulation


NUMERICAL SIMULATION OF SOME ONE-DIMENSIONAL FREE BOUNDARY PROBLEMS IN ARBITRARY PRECISION

GAKUTO International Series, Mathematical Sciences and Applications


NUMERICAL SIMULATION OF ONE-DIMENSIONAL FREE BOUNDARY PROBLEMS IN INFINITE PRECISION

本論文は，無限精度数値計算手法を1相自由境界問題へ適用したものである．自由境界問題では境界が変化するため直接スペクトル選点法を適用することができない．そのため，まず固定領域法を用いて問題を自由境界問題から固定省域問題に変換し，その上で無限精度数値計算手法を適用した．自由境界問題である1相ステファン問題に対して数値計算を行ったところ，十分な精度でシミュレーションが可能であることがわかった．


Theory and numerical calculation of pattern formation in shrinking gels


ON NUMERICAL SIMULATION OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS IN INFINITE PRECISION

本論文は，数値誤差を任意に小さくできる「無限精度数値シミュレーション法」を開発した． 数値計算結果が信頼できるかどうかは，精度保証計算を行っていれば疑いようもないが， 精度保証計算は適用範囲がきわめて限られているので実用問題では経験的手法に頼るしかない． この経験的手法とは， 計算精度を高めていったときに数値解の振舞いが収束しているかどうかで信頼性を判断するというものである． この経験的手法は非常に実用的であるが，この手法で信頼性が判定できないことがある． それは，計算精度を変えてえられた数値解の列が収束しないときである． これは数値誤差に敏感である逆問題ではよく起こる． この場合の問題点は，既存の手法では計算精度を極端に変えられないので， 十分な数値解の列が得られないことにある． この間題点を解決したのが本論文である． 数値誤差は打切り誤差と丸め誤差から成り立っている． 打切り誤差を任意に小さくするスペクトル法と丸め誤差を任意に小さくする多倍長演算を併用した 「無限精度数値シミュレーション法」を開発した． 数値実験によって，本手法は数値誤差を任意に小さくできることを確認した． その精度はすさまじく，1次元の微分方程式の数値計算が，いままでの100倍以上の精度で実行できた．


3次元ポアソン方程式におけるSOR法の収束率

3次元ポアソン方程式におけるSOR法の収束率

本論文は，3次元ポアソン方程式を高次精度の差分法を用いて解く場合のSOR法の収束率を解析したものである．著者がすでに開発した手法をより一般化した手法を用いて係数行列の固有値を理論的に求めることによりその数値的な性質を調べた．また，2次元ポアソン方程式に対する9点差分公式を使用した場合に，本来ベクトル化のための手法であるマルチカラー法を適用するとSOR法そのものの収束率が上がることを証明した．また，そのときのSOR法の最適加速係数および収束率を求めた．


Phase Separation in Elastic Bodies -Pattern Formation in Gels

Free boundary problems, theory and applications


3次元変型9点差分近似の理論と応用

3次元変型9点差分近似の理論と応用

本論文では，3次元ポアソン方程式に対して，通常の3次元7点差分公式の代わりに格子立方体の8個の頂点を使った2次精度差分公式を提案した．また，もっとも基本的な反復法であるJacobi法の反復行列の条件数が，通常の7点差分公式を使用した場合より本差分公式を使用した場合の方がよくなることを行列の条件数を用いて理論的に示した．さらに，ベクトル計算機向きのアルゴリズムを考案し，実際に計算機を用いて数値実験例を行い効率的に計算ができえることを示した．

Transactions of Information Processing Society of Japan


3次元ポアソン方程式の右辺項の修正による高次精度の 差分公式について

3次元ポアソン方程式の右辺項の修正による高次精度の 差分公式について

本論文では，3次元ポアソン方程式に対するベクトルおよび並列計算機向きの4次精度差分公式を新しく提案した．この4次精度差分公式は隣接格子点のみを使うので境界付近でも同一の公式を使用できるという利点がある．さらに，隣接格子点を用いた6次制度差分公式を提案し，同様の方法では隣接格子点のみを用いた場合にはさらなる高精度の差分公式は作ることができないことを証明した．また，実際の問題においてベクトル計算機を使用して数値計算を行い，本論文で提案した差分公式の有効性を確認した．


差分法によるn次元ラプラス方程式の離散化とその理論固有値解析

差分法によるn次元ラプラス方程式の離散化とその理論固有値解析

本論文では，差分法によるn次元ラプラス方程式の離散化において，通常の中心差分で使用される格子点とは異なる格子点を用いた差分公式を提案した．また，この差分公式から作られる係数行列の固有値を理論的に求め，行列の条件数およびヤコビ法を使った場合の理論的な収束率を解析した．その結果，本論文で提案する変形差分法が通常の中心差分より行列の条件数や収束率がよくなることがわかった．また，実際に計算機による数値実験を行い，これを検証した．


ILU factorization well-suited to the vector processor using a variant of 5-point difference scheme

本論文では，2次元ポアソン方程式に対して，通常の5点差分公式の代わりに斜めに位置する格子点のみを使用する2次精度変型5点差分公式を提案した．また，この差分公式を用いるとCG法の前処理で使用されるILU分解においてベクトル計算機に適したアルゴリズムが構築できることを示した．また，実際の問題においてPCG法および前処理付きBi-CG STAB法に本研究で提案する差分公式を適用し，ベクトル計算機上で効率よく計算が行えることを確認した．


疎行列に対する(I+βU)型の前処理つきGauss Seidel法の性能評価

疎行列に対する(I+βU)型の前処理つきGauss Seidel法の性能評価

本論文は，小規模の行列に対する数値実験例しか報告されていなかった(I+βU)型の前処理つきGauss Seidel法について，実際の応用分野で現れる大規模な行列での有効性を調べたものである．問題として，ポアソン方程式，1階の偏微分項を含む微分方程式，実際の流体問題であるバックステップ流れの問題に前述の方法と従来よく使用されているSOR法を適用した結果，規模が大きい場合にはSOR法の方が効率的である場合があることを確認した．


差分スキームの再考によるベクトル計算機向き不完全LU分解について

差分スキームの再考によるベクトル計算機向き不完全LU分解について

本論文では，2階偏微分方程式を境界適合格子を用いた差分法とCG法系統の反復法を使って解く場合に，ベクトル計算機上で効率よく使える差分スキームを提案した．特に対称行列用の前処理つき共役勾配法および非対称用の前処理つきBi-CG STAB法が，本論文で提案する差分スキームによりベクトル計算機上で効率よく使用できることを，実際の問題に対してベクトルコンピュータであるVP-200を用いて数値計算を実行することで確認した．


ベクトル計算機におけるメモリ競合の数理的考察

ベクトル計算機におけるメモリ競合の数理的考察

本論文は，コンピュータのアーキテクチャにおいてメモリ競合と呼ばれる現象を数理的にモデル化し，初等整数論を用いて理論的にその影響を解析したものである．また，導出した評価式を用いて，どのようなバンク構成が効率面でよいのかを定量的に評価した．さらにスーパーコンピュータであるS820/80，VP-200，VP-2600/10，SX-2，SX-3/14の5台のベクトル計算機を用いて実際にメモリのバンク競合を調べるベンチマークプログラムを走らせ，解析結果を比較し，理論の検証を行った．


Performance of hyperplane ordering on vector computers

本論文は，ベクトル計算機のハードウェアの特徴に基づいて，ベクトル計算機が持つメモリバンク競合の影響が最も少ない超平面法に対するベクトル化の方法を述べたものである．また実際に，3次元ポアソン方程式を差分法で離散化し，ICCG法の前処理として超平面法を使用する場合のメモリバンク競合の影響が少ない格子点数の選び方の指針を与えた．また実際に4種類のスーパーコンピュータを用いて数値計算を行い，理論の検証を行った．

Journal of Computational and Applied Mathematics


Visualization of convergence behavior of multigrid methods

Multigrid Method: Secial Topics and Applications II


Domain Decomposition Method and Infinite-Precision Numerical Simulation


On numerical methods for analysis of chaotic phenomena in free boundary problems


On numerical methods for solving linear systems appearing in Infinite Precision Numerical Simulation


On Numerical Computation of Lyapunov Exponents of Attractors in Free Boundary Problems

Proceeding of 1999-Workshop on MHD Computations ``Study on Numerical Methods Related to Plasma Confinement"


準周期的 Duffing 方程式の解の存在と一意性および近似解の精度保証について


Infinite Precision Numerical Simulation for PDE Systems and Its Applications


Numerical computation of attractors in two-phase Stefan problems


NUMERICAL SIMULATION OF ONE-PHASE STEFAN PROBLEMS IN ARBITRARY PRECISION


On Multiple Precision Calculation of Eigenvalues and Eigenvectors of Matrices

本論文では，軸対称円筒系のゲルが縮小するときに起こる分岐現象に対して，著者がすでに提案した数理モデルを改良した数理モデルを提案した．また，定常解に対する安定性解析を行い，安定流域を求めた．さらに，分岐現象に関する数値シミュレーションを行い，その妥当性を示した．数値シミュレーションでは，差分法を使って軸方向に周期境界条件を課した発展方程式を解いた結果，実際の分岐現象で見られる収縮パターンが現れることを確認した．

Proceeding of 1998-Workshop on MHD Computations ``Study on Numerical Methods Related to Plasma Confinement"


Application of the Infinite-Precision Numerical Simulation to an Inverse Problem


偏微分方程式の任意精度数値シミュレーションについて

偏微分方程式の任意精度数値シミュレーションについて


滑らかな解を持つ偏微分方程式の任意精度数値シミュレーション

滑らかな解を持つ偏微分方程式の任意精度数値シミュレーション

Cooperative Research Report,The Institute of Statistical Mathematics

統計数理研究所共同リポート