The Gauß sum and its applications to number theory

Let K be the biqudratic field and L be a cyclic bicubic fild obtained by composition of the quadratic field of conductor 5 and a cubic field appliying cubic Gauss sum. Then we determine when K is monogenic and L is non-monohenic except for the cases when the Gauss sums are conductor 7 and 9.

K を双4次体とする．√5を添加した2次体と三次のガウス和との合成の6次体 $L$ とする．ガウス和の性質を使うことによって，Kが整数底を持つ条件を決定する今までの手法とは異なる別証明を与え，Lが2個の例外を除き整数底を持たないことを示した．


Monogenity of totally real algebraic extension fields over a cyclotomic fields

Let k be a cyclotomic field and F be a totally real algebraic field ocer the rational field Q. We have proved the composite field of k and F is not monogenic under certain conditions on the cyclotomic fields k.

k を1の原始 n乗根を有理数体 Q に添加した円分体とする．Fを任意の総実代数体とするとき，Fとkの合成体は，nがある条件のもとでは，決してべき整数基底を持たないことを示した．


On Zenkoku Shijyo Suugaku Danwakai and Shikoku Suugaku Shijyo Danwa

「全国紙上数学談話会」と「四国数学紙上談話」について

Zenkoku Shijo Sugaku Danwakai is a Japanese mathematical journal published by the Department of Mathematics, Faculty of Sciences of Osaka University from 1934 to 1949. This mimeographed journal played an important role in the mathematical research announce ments during World War II. Recently this journal was uploaded as pdf files at the HP of the Department of Mathematics of Osaka University. The URL ishttp://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/shijodanwakai/. Shikoku Sugaku Shijo Danwa is also a Japanesemathematicalmimeographed journal published by the Department of Mathematics, the Gakugei College of TokushimaUniversity from 1951 to 1956. We have compared the authors,titles and contents of these journals andconcluded that Shikoku Sugaku Shijo Danwa played a successive role to Zenkoku Shijo Sugaku Danwakai. In 2014, we have uploaded this mimeographed journal as pdf files at the HP of the Department of MathematicalSciencesof Tokushima University (http://www-math.ias.tokushima-u.ac.jp/). We must mention that manyfrontier resultsinthose daysareincluded in these journals,althoughthey were written in Japanes

「全国紙上数学談話会」は，大阪大学数学教室が1934年から1949年にかけて出版した謄写版刷りの和文数学専門誌で，第2次世界大戦中に貴重な研究発表の場であったが，最近大阪大学数学教室のHPに電子媒体で公開された．「四国数学紙上談話」は，徳島大学学芸学部数学教室が1951年から1956年にかけて出版した同じく謄写版刷りの和文数学専門誌である．我々は，双方の著者や論文を比較して，その時期は「四国数学紙上談話」が「全国紙上数学談話会」の役割を担っていたことを示した．さらに2014年に「四国数学紙上談話」を徳島大学総合科学部数理科学教室のHP上で公開した．

Natural Science Research, Faculty of Integrated Arts and Sciences, The University of Tokushima

徳島大学総合科学部自然科学研究


Orbit of quadratic irrationals molulo p by the modular group

We gave a simple geometric explanations for the transformation of a quadratic irrational modulo p.

素数 p を法としたときの2次無理数の作用を図形的な説明で解説したものである．


Infinite family of imaginary cyclic fields of degree p-1 with the p-rank of the ideal class groups of at least two

Applying Imaoka-Kishi's construction of cyclic p-1 fields of class number divisible by p to Katayama's special bicyclic biquadratic fields, we have constructed infinitely many cyclic extensions of degree p-1 withthe p-ranks of the class groups st least 2.

今岡ー岸によって得られた鏡映を用いた類数がpで割れるようなp-1次巡回拡大の構成法を片山によって構成された特殊な4次体に適用することにより，類群のpランクが2以上となるp-1巡回拡大が無限に構成できることを示した．


On a family of real bicyclic biquadartic fields

This is a continuation of our previous paper published in Manuscripta Mathematics(2001).


We generalized the results of Bennett and Walsh on the integer solutions of certain simultaneous Pell equations to certain family of simultaneous diophantine equations, using the structure of the unit groups of certain biquadratic fields.

Bennett-Walshによって得られた連立ペル方程式の整数解についての結果をある種の連立不定方程式の族に対して，4次単数群の構造を使うことにより拡張した．


On zeta functions associated to finite groups

We defined certain zeta functions associated to finite groups and consider the problem when two zeta functions are coincide. As aa application of this consideration, we have estimated the number of arithemetically equivalent fields for the special cases which we have constructed.

有限群に対してある種のzeta関数を定義して，そのzeta関数がいつ一致するかという問題を扱った．その応用として，ある特別な構成をする場合に，算術的同値な体がどれ位存在するかという問題についての下からの評価を得た．

Advanced Studies in Contemporary Mathematics


On the unit group and the class number of certain composita of two real quadratic fields

This is a full paper of the announced results of Proc.Japan Acad. 75A(1999).


The abc conjecture, fundamental units and the simultaneous Pell equations

This is a proceeding of our talk at the 5th Japan-Korea Number Theory symposium and is the first volume of this academic journal.

第5回日韓整数論シンポジウムでの講演の内容を基にした報告集であり同時にこの学術雑誌の第1巻である．

Proceedings of the Jangjeon Mathematical Society


The abc conjecture and the fundamental system of units of certain real bicyclic biquadratic fields

We have shown that, under the ABC conjecture, we can generate the fundamental system of units of quartic fields which have been treated in Proc. Japan Acad. 75A(1999),63-66.

Proc.Japan Acad. 75A(1999),63-66で扱った4次体の基本単数系が，explicitな形で生成できることをABC予想の元で証明した．

Proceedings of the Japan Academy. Series A, Mathematical Sciences


On the units and class numbers of certain composita of two quadratic fields

We proved the analogous results as Math.Japonica 42(1995) for the genral biciclic biquadartic fields associated to binary recurrence sequences with odd M.

Math.Japonica 42(1995)と同様の結果が，Mが奇数の一般のbinary recurrence sequencesに対応する4次体の族についても成立することを証明した．


Real quadratic fields of Richaud-Degert type and related topics

This is a survay paper on the class number problems including the real quadratic fields of Richaud-Degert type and several new results obtained in J.Math.Tokushima Univ. 31 (1998) are contained in this paper.

Richaud-Degert typeの実2次体を含む代数体の類数問題に関する総合報告論文で，J.Math.Tokushima Univ. 31 (1998)等の新結果も含むものである．


The special values of L-functions associated to Kronecker characters of real quadartic fields are important invariants related to the class numbers of real quadratic fields. Classical result of Hua was improved by Stanton, Sudler and Williams. Recently T.Ono obtained new upper estimate for the special values. We compared these 3 estimates and find the exact values where the order of the estimates changes.

実2次体のKronecker指標によって決まるL関数の1での特殊値は，類数と関連した重要な数値である．この数値の上からの評価を与える古典的な結果として， Huaの評価がある．この結果は，より精密化してStanton等によって改良されている．最近小野孝によって別の上からの評価が与えられた．我々は，この3種の評価の大小関係は，判別式によって変わることとを発見し，どの値で大小関係が変わるかも正確に求めた．


Egyptian fraction expansion is a classical diophantine equation which has its origin in "Rhind Mathematical Papyrus". In this paper, we calssifyed and generalized the formulas of Rhind Papyrus and considered certain zeta function related to the number of representaions of a unit fraction as the sum of two unit fractions.

エジプト分数の問題というのは，紀元前の「リンドパピュルス」以来扱われてきた不定方程式である．この論文では，リンドパピュルスでの数式をいくつかの公式の分類して拡張し，相異なる単位分数への表現個数に伴うゼータ関数についても考察している．


Fibonacci, Lucas and Pell numbers and class numbers of bicyclic biquadratic fields

We considered some families of bicyclic biquadratic fields associated to Fibonacci numbers and Pell numbers. We determined the structure of unit groups and obtained the class number formulas explicitly.

Fibonnaci数とPell数に伴って定義される4次体の族について単数群の構造を決定し，明示的な類数公式を得た．


On bound functions of fundamental units of real quadratic fields

We introduced the notion of bound function to treat all the class number problems concerning real quadartic fields. As a colloary of our results, we have shown part of the problems of Yokoi can be reduced to the results of Mollin and Williams.

Richerd-Degert typeをはじめとするいくつかの実2次体の類数問題を統一して扱うために，Bound functionという概念を導入しその応用として，横井英夫氏 が予想した結果の一部がMollin-Williamsによって得られた結果に帰着することを示した．


We generalized Hirbert's Theorem 90 as the action of the integrated group ring on the multiplicative group of cyclic extensions.

Hilbertの定理90を整群環の体の乗法群への作用として捉え直して，巡回拡大での整群環の作用について，HIlbertの定理90の一般化を得た．


On fundamental units of real quadratic fields with norm +1

We descoverd new criterion for certain unit of norm +1 to be the fundamental unit of real quadratic fields.

ノルムが+1であるような単数が実2次体の基本単数となるための新しい十分条件を与えた．


On fundamental units of real quadratic fields with norm -1

We have discovered new criterion for certain unit of norm -1 to be the fundamental unit of real quadratic fields.

基本単数のノルムが-1となる実2次体について，ある形の単数が基本単数となる新しい十分条件を与えた．


Isogenous tori and the class number formulae

We have shown the class number formulae for the exact sequence of algebraic tori. As a colloraly, we have obtained a purely algebraic proof of the class number formula for relative bicyclic biquadratic fields, using Galois cohomology. The class number formula was now rediscoverd and generalized by F.Lemmermeyer.

Algebraic torus の完全列から決まるtorusの類数公式を証明し，その応用として，ガロアコホモロジーを用いた純代数的な相対双4次体の類数公式を得た． 公式自体は，より一般化した形でLemmermeyerによって再発見された．

Journal of Mathematics of Kyoto University


We determined all the real quadratic fields with class number one for certain inifinite family of real quadratic fields defined by H.Yokoi(under generalized Riemann Hypothesis).

横井英夫氏によって定義されたある種の実2次体の無限集合に対して，一般リーマン予想の元で類数1のものを全て決定した．


Consider the problem when the products of the products of two consecutive integers are again the productts of two consectuive integers. We have shown all the infinite integer solutions of the diophantine equations x(x+1)y(y+1)=z(z+1) are obtained by the action of a natural group G* on the trivial solution (0,0,0).

連続する2つの整数の積の積が再び連続する2つの整数の積になるというのは，x(x+1)y(y+1)=z(z+1)という不定方程式を考えることと同値である．整数解全体に作用する自然な無限群を考えることにより，この方程式の無限にある整数解の組は，自明な整数解(0,0,0)へのこの群への作用で得られることを示した．


On certain real quadratic fields with class numbers 3 and 5

M.G.Leu and H.K.Kim and other mathematicians have determined all the quadratic fields of Yokoi-Chowla type of class number 1 and 2 under the Riemann hypothesis. We have determined all such fields with class number 3 and 5 under the same situation.

横井-Chowlaタイプの実2次体については，類数1，類数2の場合が，M.G.Leu，H.K.Kim等によって一般リーマン予想の元で決定されている． この論文では，類数3，5の場合に全ての横井ーChowlaタイプの実2次 体を決定した．


E(K/k) and other arithmetical invariants for finite Galois extensions

This is the detailed report of the announcement published in Proceedings of the Japan Academy on 1987.

これは，1987年の学士院紀要にアナウンスした結果の詳報である．


On unit groups of algebraic number fields

We have generalized our results on the certain residue groups of the unit groups of algebraic number fields.

有限次代数体の単数群のある種の剰余群について，特殊な場合について筆者が得ていた結果を一般の場合に拡張した．


The Euler number and other arithmetical invariants for finite Galois extensions of algebraic number fields

Recently, new arithmetical invariant E(K/k) has been defined and investigated by Takashi Ono. In this paper, we have shown the explixit relations between the genus number g(K/k) and other invariants and E(K/k) for any Galois extension K/k.

小野孝氏によって定義され研究されているAlgebraic Torusの不変量を使って定義された新しい算術的な量E(K/k)とgenus number等の関係をK/kが有限次ガロア拡大の際に明らかにした．


Class number relations of algebraic tori II

We generalized the results in "Class number relations of algebraic tori I" to non-galois extension K/k using I.T.Adamson's non-galois cohomology.

Class number relations of algebraic tori Iの結果をガロア 拡大で無い場合についてI.T.Adamsonのnon-galois cohomologyを 用いて拡張した．


Class number relations of algebraic tori I

For any finite Galois extension K/k, T.Ono defined two arithmetical invariants E(K/k) and E'(K/k) using the Weil functor and algebraic tori. We have write down E(K/k) and E'(K/k) by the orders of galois cohomology groups explicitly.

K/k をGalois拡大とするとき，Weil functor R_(K/k)を使って定義されるk上定義されたalgebraic torusの完全列によってきまる小野孝氏によって定義された量E(K/k),E'(K/k)をGalois cohomology群を用いて明示的に記述した．


A theorem on the cohomology of groups and some arithmetical applications

One can realize the Artin map in class field theory using the cannonical class of Galois cohomology groups. We generalize this map using the method of Tate on cohomologically trivial Galois moudules.

類体論でのArtinの同型写像は，Galois cohomology では，標準類を用いて 説明できる．この論文では，cohomology trivial な加法群を用いるTate の手法を一般化して，algebraic torusを含む様々なGalois加群に適応でき る定理を証明した．

Journal of Mathematics of Kyoto University


Let A and B be the cochain complexs. [A,B] denotes the abelian group of homotopy classes of cohain maps from A to B. E(A_#,B) denotes the abelian group of equivalent classes of weakly splitting extensions of A_# and B. Then [A,B] is isomorphic to E(A_#,B).

A,BをCochain複体とし，[A,B]でAからBへのcochain map のホモトピー類のなす群とする．A_#,Bの弱分解拡大の同値類のなす群をE(A_#,B)とすると，E(A_#,B)と[A,B]は同型となる．


On the Tamagawa number of algebraic tori

Over 20 years ago, T.Ono conjectured any positive rational number appears as the Tamagawa number of certain algebraic torus. We proved the conjecture affirmatively, reducing the problem to the construction certain abelian extensions with everywhere cyclic local extensions

有理数体上定義されたalgebraic torusの玉河数が任意の正の有理数を取り得るだろうという予想が小野孝氏によって20年ほど前に提起された．この論文では，Galois cohomologyを用いて，局所拡大が全て巡回拡大となるようなアーベル体の構成問題に問題を帰着させて，小野氏の予想を肯定的に解決した．


Cohomology groups of the unit group of a local field

Let K/k be a local Galois extension. Let U_K be a local unit group and ar{Z} be the Artin's splitting module defined by the cannonial class of K/k. Then there exists an isomoriphism between the Galois cohomology groups of U_K and the Galois cohomology groups of ar{Z}.

K/kを局所体のガロア拡大とし，K/kの標準類によって決まるArtinの分解加群 のcohomology群と局所単数群のcohomology群との間に次数が1ずれた同型が 存在することを示した．


On the Galois cohomology groups of CK / DK

Let K/k be a finite Galois extension. C_K denotes the idele class group and D_K be the coonected component of the unity in C_K. We wrote down the Galois cohomology group of C_K/D_K using the 2-Sylow groups of Gal(K/k).

K/k を有限次ガロア拡大，C_KをKのイデール類群，D_Kで単位元の連結成分を表すとき，C_K/D_Kの非負のガロアコホモロジー群をガロア群の2シロー群を用いて書き下した．


We announced part of the results in Japanese Journal of Mathematics 8 (407-415).

Japanese Journal of Math. 8(407-415)の結果の一部についてのannouncement.


Wythoff's game is equivalent to a game the movements of Queen of the chess on the infinite chess board, which is named "Corner the Queen Game". In this paper, we have introduced a new game, where the queen is replaced by the knight and determined the Grundy numbers of this new game.

Wythoff のゲームは，無限ボード上のチェスのクイーンの動くゲーム(Corner the Queen Game)と同値であることが知られている．この論文では，クイーンをナイトに置き換えた新しいゲームを導入した上で，盤面でのグランディー数を決定した．

Journal of Mathematics, Tokushima University


On Polygonal Square Triangular Numbers II

This is a continuation of our previous paper "On polygonal square triangular numbers. We shall estimate the number of solutions of related simultaneous diophantine equations. We also find some example of polygonal square numbers(toridecagonal square triangular number) with exact 2 solutions(1 and 36).

これは，「On polygonal square triangular numbers」に引き続き平方多角数の問題を扱ったものである．解の個数の評価に関する結果と共にがちょうど2個ある例(13角平方三角数)がちょうど2個(1と36)であることも示した．


abc予想は，1985年前後にOesterleとMasserによって提唱された予想であり，2020年4月に京都大学数理科学研究所の望月新一氏が2012年から主張していた証明が数理研の査読誌に正式に受理された．本論文では，abc予想の成立から2012年の発表から2020年の京都大の発表までの歴史を概観した上で，強いabc予想からフェルマー・ワイルスの定理が導かれること，弱いabc予想からフェルマー・カタラン予想が導かれることを紹介している．さらにabc予想の定式化に表れるquarityの分布に関していくつかの計算結果と考察を新たに行いその結果を報告した．


The proof of the fact that the pentagonal square triangular number is only 1 has not been published in any article or text. The authors give an elementary proof of this probably well known result. They proved more general problem which find the k-gonal square triangular numbers for small k(e.g. k=5, 7, 8, 9, 10, 11, 12) and several other cases and found there are no solutions other that 1 for these cases. They reduced these problems to the the determination of integer points on related elliptic curves over Q.

五角平方三角数が1しかないことの証明が書かれた論文や本は今の所存在しない．著者たちは，この論文んで(このよく知られている事実)に初等的な証明を与えている．彼らは，より一般のk角平方三角数の決定をkが小さな場合(k=5,7,8,9,10,11,12)に行い他のいくつかの場合を含めて 1以外解が無いことを示している．これらの一般的な場合の証明は，それぞれの場合に対応して決まる有理数体上の楕円曲線のそれぞれの整数点を決定する問題に帰着させることによって成されている．

Journal of Mathematics, The University of Tokushima


Square, Rectangular and Triangular Nim Games

This is a continuation of the first author's Restricted Wythoff's Nim Game. It is known that Wythoff's Nim is equivalent to the corner the queen game on the infinite chess board. Motivated by the recent research on Ryuoh and Ryuma Nim, we developed and investigated several games which generalize the case of gold general(of Shogi), which is called Square NIm. We also investigated Rectangular NIm(a genaralozation of Square Nim) and Triangular Nim and obtaied general results on these games.

この論文は，第一著者の「制限されたWythoffのニム」に引き続く石取りゲームに関する論文である．Whthoff のニムは，無限の大きさのチェス盤上においたQueenのCorner the Queen Game と同値なゲームであることが知られている．最近チェス盤を将棋盤，Queenを竜王や竜馬に代えた研究が行われていることに刺激され，他の将棋の駒での様々な類似ゲームを扱った．ここでは，金の一般化である平方ニムとさらにその一般化である長方形ニム，関連する三角形ニムについても考察をし，一般的な結果を得た，


「碁石ひろい」は，和算での碁石に関するゲームである．最近碁石ひろいゲームは，NP完全なゲームであることが証明されているが，ここでは，取りきることができるある碁石の配置の無限系列とその取り尽くし可能な総数の下限がフィボナッチ数で記述できること証明した．


日本における明治以降の石取りゲームの受容史と，最近の石取りゲームに関する結果について概説した．特にWythoffの二山崩しに使われているRauleighの定理が日本では長く間違った名称で紹介されてきた経緯とRayleightの定理の出典について紹介し，最近著者によって得られた制限付きのWythoffの二山崩しに関する結果に関しても紹介した．


In Game theory, extracting games of stones are described by the abelian group called Nim sum. In 1907, Wythoff modified Nim game and the winning strategy is related to Fibonacci numbers. Recently in 1999, Dress, Flamennkanp and Pink showed the grudy numbers of Wythoff's Nim are additive periodic. In this paper, we have restricted the number of stones can be picked up from one pile is finite and proved the grundy number is periodic for this case.t

ゲーム理論に於いて，石取りゲームは，ニム和と呼ばれるアーベル群で説明できることが知られている．1907年，ワイトホフは，少し条件を変えた Wythoff's Nim を考案したが，このゲームでは，後手必勝形がフィボナッチ数と関係していることで著名である．このゲームのグランディー数について閉じた式は知られていないが，1999年に加法的周期性を持つことが証明された．本研究では，1つの山から取れる石の数を有限個にするとグランディー数は周期性を持つことを証明した．


The abc Conjecture and Square Free Parts of Fibonacci Numbers

Under the abc conjecture, we have shown the finiteness of certain family of real quadratic fields related to Fibonacci numbers. In this paper, we have determined all the real quadratic fields in the above family which has the solutions related to Eisenstein's problem.

筆者は，abc 予想を仮定してある種の2次体の有限性を以前示したが，この論文では，abc コンスタントとの関係を明示化し，さらに楕円曲線の整数点の計算を用いてEisennsteinの問題に関連した部分的な解決について述べた．


石原侑氏の数学史論文について

石原侑氏の数学史論文について

徳島科学史雑誌35号の石原侑氏の追悼文の一つとして，石原氏の2つの論文「小出長十郎『砲術玉道真法』について」(徳島科学史雑誌5号(1986))，および「ルカシェービッチ記法」(同7号(1988))の内容と筆者の最近の数学史研究の関係について紹介した．


Hypothesis of Schinzel and Sierpinski and Cyclotomic Fields with Isomorphic Galois Groups

We have generalized Carmichael conjecture, which states the existence of different m with φ(m)=φ(n) for any natural number n to the existence of cyclotomic extension Q(m) with isomorphic galois group Gal(Q(n)/Q). Under the Hypothesis of Schinzel and Sierpinski, we have shown the existence of certain pairs (m,n) with isomorphic Galois groups.

CarmichaelによるEuler数に関する予想を一般化して同じガロア群を持つ相異なる円分拡大が存在するかと言う命題を考えた．この問題は，Shinzel-Sherpinskiによる既約多項式に関する未解決な予想を仮定しておけば，肯定的に解けることを示した．


Products of Arithmetic Progressions which are Squares

Let f(x) be the product of arithmetic progressions x(x-b)(x+b). Then It is a open probrem when f(x)f(y) is squre with nontrivial x and y. In this short remark, using the norm equations of Q(√2), we have proved there exist infinitely many nontrivial integer solutions.

整数 b に対して，公差 b の等差数列の連続する3整数の積を f(x)=x(x-b)(x+b) とする．b が1以外の奇数の場合には，f(x)f(y) が平方数となる自明で無い x,y が無限に存在することは，未解決の問題であったが，このノートでは2次体 Q(√2)のノルムを用いて，自明で無い無数の整数解が存在することを示した．


Diophantine Equations and Hilbert's Theorem90

Let K/F S be a cyclic field extension of degree n with the Galois group generated by t. Then Hilbert's Theorem 90 states that any element a in K with relative norem 1 can be expressed as b/b^t with some element b in K. We have pointed out there exists a family of diophantine equations whose rational solutions are obtained by applying Hilbert's Theorem 90, which include thw well known the parametrizations of the primitive Pythagorean triples.

Hilbertの定理90とは，相対巡回拡大体 K/F において，相対ノルムが1となる元aは，巡回群の生成元tとあるKの元を用いて b/b^t と表せると言う古典的な定理である．我々は，有理数係数の不定方程式の族で，その有理数解が，Hilbertの定理90を用いて記述できるものの存在を示した．その族の一つとして著名な原始的なピタゴラス三角形のパラメータ表示が得られる．


フィボナッチの円周率の計算について

フィボナッチの円周率の計算について

フィボナッチの残した2つの書籍「Liber Abachi」(1202)，「De Practica Geometrie」(1220)をもとに，フィボナッチの行った円周率計算を，その数学的な意味および位取り記数法の導入についてのフィボナッチの寄与を考慮に入れて．アルキメデスが行っていた円周率計算と比較検討した．


Modified Farey trees and Pythagorean triples

In 1963, F. J. M. Barning has dicovered a ternary tree of primitive Pythagorean triples. In this paper, we have given an elementary explanation of this fact using classical Euclidean parametrization of primitive Pythagorean trples and a new concept of modified Farey trees.

1963 年に Barning によって発見された原始的なピタゴラス三角形を生成する3次行列を用いたツリー構造について，古典的なユークリッドによる原始的なピタゴラス三角形のパラメーター表示に変形されたファレイツリーという新しい概念を適応することによりまったく新しい別証明を与えた．

Journal of Mathematics, The University of Tokushima


Scissors congruence for certain k-polygons

Let S be the set of k-polygons where the vertices chosn from the n equally division points of the given circle. Then we have verified that the two notions scissors congruent and congruent do'nt coincide in the set S. But these notions are coincide for the special cases for k=3 and n=p (prime).

与えられた円の周を等分し，k個の頂点を選んで内接するk角形全体の集合をSとする．一般の場合と同じく分割合同と合同の概念は，Sでも異なるが， k=3の場合は，nが素数である場合などの特殊な場合には2つの概念が一致することを示した．


Generalized Goggins's formula for Lucas and Companion Lucas sequences

We have genralized our two results which have published in Journal of mathematics, the university of Tokushima Vol. 42(2008) to Lucas and companion Lucas sequences.

この論文では，2008年のJ. Math. Tokushima Univ. 42(2008)の結果を一般のLucas数列と随伴Lucas数列に一般化させたものである．


Let C be a given circle divided into n parts equally. Let Ck (n) be the number of incongruent k-polygons inscribed in C, where the vertices of the triangles are chosen from the ends of these parts. In this paper, we have determined Ck(n) for k=4 an 5 and related generating functions. These results are the generalizations of our result for k=3(J. Math. Tokushima Univ. 43).

この論文では，与えられた円に内接するk多角形の合同類の数をk=4,5の場合に決定し，その母関数も決定した. これは著者の k=3 の場合の結果(J. Math. Tokushima Univ. 43)の結果をさらに発展させたものである．


A variation of Takagi's proof for quadratic reciprocity laws for Jacobi symbols

In this paper, we have generalized Takagi's proof for quadratic reciprocity laws for Legendre symbols for Jacobi symbols.

この論文では，高木によるLegendre記号の相互法則についての証明をJacobi記号に拡張した．


Let C be a given circle divided into n parts equally. Let C3 (n) be the number of incongruent triangles inscribed in C, where the vertices of the triangles are chosen from the ends of these parts. In this paper, we have shown a relation of this new defined number C3(n) and the partitions of n into at most three parts.

この論文では，与えられた円に内接する三角形のある合同類の数を定義し，その数とある種の分割関数が一致することを証明した．


In this paper, we have generalaized J.G. Goggins's formula involving inverse of Fibonacci numbers to general binary recurrences sequences.

この論文では，J. G. Goggins の得たFibonaci数の逆数を含む公式を一般の線形2次漸化式に関する公式に一般化した．


Some infinite series of Fibonacci numbers

In this paper, we have generalized J.G. Goggins's formula involving arctangent of inverse of Fibonacci numbers.

この論文では，J. G. Goggins の得たFibonaci数の逆数の値での逆三角関数の値に関する公式を一般化した．


In this paper, we have modified the previous methods developed by M. Newman, D. Shanks and H.C. Williams on the order of finite symplectic groups, and shown that there is no symplectic group of cube order.

この論文では，M. Newman, D. Shanks, H.C. Williamas によるシンプレクティック群の位数に関する手法を一般化して，位数が立法数となる有限シンプレクティック群が存在しないことを示した．


On the diophantine equation (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2

In this paper, we have determined the structure of integer solutions of the diophantine equation (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2.

この論文では，不定方程式 (x^2+1)(y^2+1)=(z^2+1)^2 の整数解の構造を決定した．


Maps R:Z/nZ → Z/n^2Z and some cryptographic applications

In this paper, we have generalized the RSA signatures with redundancy functions develped in the first author's master thesis. We also investigated arithmetic properties of these redundancy functions and the RSA sgnatures with these redundancy functions.

この論文では，著者の安井氏が修士論文で発表し冗長性関数を用いたRSA署名を一般化した．またその一般化した冗長性関数の数論的性質とRSA署名について考察した．

Journal of Mathematics, The University of Tokushima


A conjecture on fundamental units of real quadratic fields

In our previous paper Proc.Japan Acad. 75A(2000), we have shown, under the ABC conjecture, the explicit units corresponding to Fibonacci numbers are fundamental units except for finitely many indices. We have actually verified all the explicit units for the indices leth than 701 are fundamental units.

Proc.Japan Acad. 75A(2000)で扱った場合の特別な場合であるFibonacci数に対応して決まる実2次体の族の単数は，ABC予想の元では，有限個の例外を除いて基本単数である．この論文では，実際に701番目までのFibonaaaci数に対応する全ての実2次体の対応する単数が基本単数であることを確かめた．


Zeta functions of finite groups and arithmetically equivalent fields

We consider all the finite group of order n(G,G',...) to be the subgroups of S_{n} by the regular representation. We also fix a S_{n} extension of Q and K,K',... to be the intermediate fields corresponding to G,G',... by Galois correspondence. Then zeta_S(G,s)=zeta_S(G',s) if and only if (S_{n},G) and (S_{n},G') are Gassmann equivalent and zeta_{K}(s)=zeta_{K'}(s) if and only if G and G' are isomorphic.

全ての位数nの有限群G,G'...を正則表現でn次対称群S_{n}の部分群として実現し，1つのS_{n}拡大を固定した上でガロア対応する中間体K,K',...を対応させる．このときAdv.Stud.Contemp.Math.4(2002)で定義したGとG'のSylow型のzeta関数の一致がちょうど(S_{n},G),(S_{n},G')がGassmann同値であることを意味し，KとK'のDedekind zeta関数の一致が，GとG'が同型である事と同値になることを示した．


Several methods for solving simultaneous Fermat-Pell equations

We determined the integer solutions of certain simultaneous Pell equations whichwere treated in Manuscripta Math. 105(2001) by the several different methods including Bakaer's method.

Manuscripta Math. 105(2001)の中で扱った連立ペル方程式について，Bakerの手法を含む何通りかの独立な解法で整数解を求めたものである．

Journal of Mathematics, Tokushima University


On the class numbers of real quadratic fields of Richaud-Degert type

We generalized the results on the distribution and the estimates of class numbers of the real qudratic fields of Chowla type by Montogomery and Weinberger to the real quadratic fields of extended Richaud-Degert type.

Richud-Degert型の実2次体の分布と類数の評価について，Montgomery-Weinbergerによって得られたChowla型の実2次体についての結果を拡張した．


We treated new family of bicyclic biquadratic fields different from the quartic fields treated in Math. Jap. 42(1994), which were also related to Fibonacci numbers. We determined so called Hasse index and the structure of unit groups and obtained the class number formulas explicitly.

Math. Jap. 42(1994)で扱ったフィボナッチ数に伴って定義される4次体とは違った特殊な4次体について，同様にHasse indexと単数群の構造を決定し，明示的な類数公式を得た．


On certain real bicyclic biquadratic fields with class number one and two

We determined all the bicyclic biquadratic fields with class number one and two(which are the composite fields of real qudratic fields of Yokoi-Chowla type), under the generalized Riemann Hypothesis.

横井-Chowla型の実2次体の合成で得られる4次体で類数が1または，2となるものを一般リーマン予想の元で決定した．


On the structure of the integer solutions of z^2=(x^2-1)(y^2-1)+a

We have shown the integer solutions of the diophantine equation z^2=(x^2-1)(y^2-1)+a are the orbit of certain infinite group acting on the representatives in certain(easily determined) fundamental domain. We also calculated all the representatives for the cases -144 eq a eq 148.

表題のような不定方程式の整数解は，方程式から自然に定義される無限群の基本領域(簡単に決定できる)に属する代表元に作用した軌道として表されることを示し，整数aが-144以上148以下の時の代表元も計算した．